sábado, 24 de octubre de 2009

¿Que es el Minimo Común Múltiplo?

El Minimo Común Múltiplo que se abrevia MCM es simplemente el mas pequeño de los multiplos comunes. En el ejemplo que mostrare a continuación, el menor de los múltiplos es el 20, así que el Minimo Común Múltiplo de 4 y 5 es 20.

¿Qué es el Múltiplo?

Los múltiplos de un número son los que tienes cuando multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5,6,7,8,9........) como en las tablas de multiplicar.
Aquí tienes unos ejemplos:

Múltiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33......

Múltiplos de 9 son 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99.....

¿Qué es el Múltiplo Común?

Si tienes dos o mas números y miras entre sus multiplos entre las dos listas esos son los multiplos comunes de los números.

Por ejemplo si escribes los múltiplos de dos números diferentes como 4 y 5, los números comunes son los que están en las dos listas.

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44.......

Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50.........

¿Vez que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces los múltiplo de 4 y 5 son 20 y 40.

¿Comó se calcula el Minimo Común Multiplo?

En realidad es muy facil de hacer. Solo se calculan los multiplos de dos o mas numeros y se busca al multiplo comun menor, como en el ejemplo anterior el minimo comun multiplo de 4 y 5 es 20.

Primero buscamos los multiplos de los numeros que se nos asignaron en este caso repetire el ejercicio anterior ( multiplos de 4 y 5)

Los multiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40....
Los multiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50......

Segundo ahora buscamos los multiplos comunes entre 4 y 5 y los colereamos de otro color

Multiplos comunes entre 4 y 5 son 20 y 40.

Tercero y finalmente buscamos cual de los multiplos comunes entre 4 y 5 es el menor y este quedaria siendo el Minimo común múltiplo

El MCM entre 4 y 5 es 20.

Un pequeño ejercicio

Juan tiene que regar unas plantas que tiene en un invernadero. Unas las riega cada 2 y otras las riega cada 3 dias. Hoy las a regado toda ¿Dentro de cuantos dias volvera a ocurrir lo mismo?

Para resolver este problema, haremos lo siguiente:
1.Calcularemos los multipos de 2: 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22....
2.Calcularemos lo multiplos de 3: 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33....
3.Cambiamos el color de los comunes y observamos que Juan tendra que regar todas las plantas dentro de 6 dias, 12 dias ,18 dias.

0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22....
0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33....

Los numeros que hemos coloreado con naranjo son multiplos comunes de2 y 3.
Fijate que 6 es el menor multiplo comun de 2 y 3 distinti de cero.
Se llama minimo comun multiplo y se escribe asi: MCM( 2 Y 3) = 6.

Juan volvera aregar todas las plantas dentro de 6 dias.

Propiedades de los múltiplos

Primera: Todo numero es multiplo de si mismo y de la unidad. Observa que todo numero se puede expresar como producto de 1 por el mismo.

1*0=1 1*2=2 1*9=9 1*8=8

Segunda: El cero es multiplo de cualquier numero natural.

1*0=0 2*0=0 8*0=0 7*0=0

Tercera: La suma de varios multiplos de un numero es multiplo de ese numero. Consideramos dos multiplos de 4, por ejemplo 60 y 12. Si se suman 12+60=72, el numero que se obtiene, es tambin multiplo de 4 ya que 4*18=72.

60=4 porque 60=4*15 + 12=4 porque 12=4*3 = 72=4 porque 72=4*18

Cuarta: La diferencia de dos multiplos de un numero es multiplo de ese numero. Si se restan 60 y 12 que son multiplos de 4, 60-12=48. El numero que se obtiene , es tambien multiplo de 4 ya que 4*12=48.

60=4 porque 60=4*15 - 12=4 porque 12=4*3 = 48=4 porque 48=4*12

Quinta: Si un numero es multiplo de otro todos los multiplos del primero son multiplos del segundo. Piensa en el numero 15, que es multiplo de 5. Si se multiplica 15 por un numero, por ejemplo 4 se obtiene 60 que es otro multiplo de 5, ya que 5*12=60.

15=5 como 60= 15 tambien 60=5

Ejercicios

Bueno aqui te dejo unos ejercicios para que puedas practicar y asi ser un master en minimo comun multiplo yo te dare unos ejemplos:


Ejemplo 1. MCM de 3 y 6

multiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30...
multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60....
Los multiplos comunes entre 3 y 6 son 6,12,18,24,30...
El MCM entre 3 y 6 es 6

Ahora te toca a ti veamos que tan bueno eres con el minimo comun multiplo con solo dos digitos

MCM de 4 y 8
MCM de 6 y 9
MCM de 6 y 12
MCM de 2 y 10
MCM de 5 y 3
MCM de 3 y 7
MCM de 6 y 18

Ahora dejo unos un poco mas complejos con tres digitos pero estoy segura de que puedes resolverlos

MCM de 3,6,9
MCM de 2,4,8
MCM de 6,12,24
MCM de 5,10,30
MCM de 4,16,24
MCM de 2,6,8
MCM de 9,3,2

Desarrollo y Respuesta de los ejercicios anteriores I

Minimo Común Múltiplo con dos digitos:

MCM de 4 y 8 : multiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40...
multiplos de 8 son 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80...
multiplos comunes entre 4 y 8 son 8,16,24,32,40.....
MCM entre 4 y 8 es 8.

MCM de 6 y 9 : multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60....
multiplos de 9 son 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90.....
multiplos comunes entre 6 y 9 son 18,36,54....
MCM entre 6 y 9 es 18.

MCM de 6 y 12: multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60....
multiplos de 12 son 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120....
multiplos comunes entre 6 y 12 son 12,24,36,48,60.....
MCM entre 6 y 12 es 12.

MCM de 2 y 10: multiplos de 2 son 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20......
multiplos de 10 son 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100....
multiplos comunes entre 2 y 10 son 10,20.....
MCM entre 2 y 10 es 10.

MCM de 3 y 5 : multiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30......
multiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50........
multiplos comunes entre 3 y 5 son 15,30........
MCM entre 3 y 5 es 15.

MCM de 3 y 7: multiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30......
multiplos de 7 son 7,14,21,28,35,42,49,56,63,70.......
multiplos comunes entre 3 y 7 son 21....
MCM entre 3 y 7 es 21.

MCM de 6 y 18: multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60........
multiplos de 18 son 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180.....
multiplos comunes entre 6 y 18 son 18,36,54........
MCM entre 6 y 18 es 18.

Desarrollo y Respuesta de los ejercicios anteriores II

Minimo Común Múltiplo con tres digitos:

MCM de 3,6,9: multiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36.......
multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66.......
multiplos de 9 son 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99.....
multiplos comunes entre 3,6,9 son 18,36......
MCM entre 3,6,9 es 18.

MCM de 2,4,8: multiplos de 2 son 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20......
multiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40.........
multiplos de 8 son 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80....
multiplos comunes entre 2,4,8 son 8,16,24........
MCM entre 2,4,8 es 8.

MCM de 6,12,24: multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66...
multiplos de 12 son 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120...
multiplos de 24 son 24,48,72,96,120,144,168,192,216,240...
multiplos comunes entre 6,12,24,son 24, 48,72.......
MCM entre 6,12,24 es 24.

MCM de 5,10,30: multiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55...
multiplos de 10 son 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110...
multiplos de 30 son 30,60,90,120,150,180,210,240,270,300...
multiplos comunes son 30,60,90...
MCM entre 5,10,30 es 30.

MCM de 4,16,24: multiplos de 4 son 4.8.12.16.20.24.28.32.36.40,44,48......
multiplos de 16 son 16,32,48,64,80,96,112,128,144,160...
multiplos de 24 son 24,48,72,96,120,144,168,192,216,240....
multiplos comunes entre 4,16,24 son 48...
MCM entre 4,16,24 es 48.

MCM de 2,6,9 : multiplos de 2 son 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20....
multiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,49,54,60.....
multiplos de 9 son 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90....
multiplos comunes entre 2,6,9 son 18,36......
MCM entre 2,6,9 es 18.

MCM de 2,3,9: multiplos de 2 son 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20......
multiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.......
multiplos de 9 son 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90....
multiplo comunes entre 2,3,9 son 18,36.....
MCM entre 2,3,9 es 18.